Extreme waarden oefenen

Stappenplan

0. 0Een extreme waarde is een top van de grafiek: een grootste of een kleinste waarde in de buurt. In zo'n top is de helling nul.
1. 1Bereken de afgeleide $f^{\prime }(x)$.
2. 2Stel $f^{\prime }(x)=0$ en los $x$ op. Alleen een oplossing die bij de functie hoort telt mee.
3. 3Kijk naar $f^{\prime \prime }(x)$ in dat punt. Is die negatief, dan is het een maximum. Is die positief, dan is het een minimum. Reken $f$ daar uit: dat getal is de extreme waarde. Je mag ook naar het teken van $f^{\prime }$ kijken: plus daarna min is een maximum, min daarna plus een minimum.

Drie voorbeelden

• $f(x)=x^2-6x+5$

  1. Stap 0. Je zoekt de extreme waarde van $f$. In een top is de helling nul.
  2. Stap 1. $f^{\prime }(x)=2x-6$.
  3. Stap 2. $2x-6=0$ geeft $x=3$.
  4. Stap 3. $f^{\prime \prime }(x)=2>0$, dus een minimum. $f(3)=9-18+5=-4$.

  Antwoord: $\text{minimum }-4\text{ bij }x=3$

• $f(x)=-x^2+4x+1$

  1. Stap 0. Je zoekt de extreme waarde van $f$. In een top is de helling nul.
  2. Stap 1. $f^{\prime }(x)=-2x+4$.
  3. Stap 2. $-2x+4=0$ geeft $x=2$.
  4. Stap 3. $f^{\prime \prime }(x)=-2<0$, dus een maximum. $f(2)=-4+8+1=5$.

  Antwoord: $\text{maximum }5\text{ bij }x=2$

• $f(x)=x^3-12x$

  1. Stap 0. Je zoekt de extreme waarden van $f$. In een top is de helling nul.
  2. Stap 1. $f^{\prime }(x)=3x^2-12$.
  3. Stap 2. $3x^2-12=0$ geeft $x^2=4$, dus $x=-2$ of $x=2$.
  4. Stap 3. $f^{\prime \prime }(x)=6x$. $f^{\prime \prime }(-2)=-12<0$, dus een maximum: $f(-2)=-8+24=16$. $f^{\prime \prime }(2)=12>0$, dus een minimum: $f(2)=8-24=-16$.

  Antwoord: $\text{maximum }16\text{ bij }x=-2,\text{minimum }-16\text{ bij }x=2$