Differentiëren: alle regels op één pagina

Voorbeeld

• $f(x)=3x^4⟹f^{\prime }(x)=12x^3$
  1. 1.$n=4$, $a=3$
  2. 2.$f^{\prime }(x)=4\cdot 3\cdot x^{4-1}=12x^3$
• $f(x)=7⟹f^{\prime }(x)=0$
  1. 1.Constante: $n=0$
  2. 2.$f^{\prime }(x)=0$

Voorbeeld

• $f(x)=x^3+5x^2⟹f^{\prime }(x)=3x^2+10x$
  1. 1.Differentieer elke term apart: $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$ en $(5x^2{)}^{\prime }=10x$
  2. 2.Tel op: $f^{\prime }(x)=3x^2+10x$

Voorbeeld

• $f(x)=(x^2-4)(x^3+2x)⟹f^{\prime }(x)=2x(x^3+2x)+(x^2-4)(3x^2+2)$
  1. 1.$g=x^2-4,g^{\prime }=2x$
  2. 2.$h=x^3+2x,h^{\prime }=3x^2+2$
  3. 3.$f^{\prime }(x)=2x(x^3+2x)+(x^2-4)(3x^2+2)$

Voorbeeld

• $f(x)=\frac{x-2}{x+5}⟹f^{\prime }(x)=\frac{7}{(x+5{)}^2}$
  1. 1.$t=x-2,t^{\prime }=1$
  2. 2.$n=x+5,n^{\prime }=1$
  3. 3.$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x+5)-(x-2)\cdot 1}{(x+5{)}^2}=\frac{7}{(x+5{)}^2}$

Voorbeeld

• $f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}⟹f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$
  1. 1.Herschrijf: $f(x)=x^{1/2}$
  2. 2.$n=\frac{1}{2}$: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$
• $f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}⟹f^{\prime }(x)=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}$

Voorbeeld

• $(4x+3{)}^3⟹12(4x+3{)}^2$
• $(x^2+1{)}^3⟹6x(x^2+1{)}^2$
• $\sqrt{3x+1}⟹\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$
• $\sqrt{x^2+1}⟹\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Voorbeeld

• $f(x)=3\sin (x)-2\cos (x)⟹f^{\prime }(x)=3\cos (x)+2\sin (x)$
  1. 1.$(3\sin (x){)}^{\prime }=3\cos (x)$
  2. 2.$(-2\cos (x){)}^{\prime }=-2\cdot -\sin (x)=2\sin (x)$
  3. 3.$f^{\prime }(x)=3\cos (x)+2\sin (x)$

Voorbeeld

• $f(x)=\sin (3x^2)⟹f^{\prime }(x)=6x\cos (3x^2)$
  1. 1.Binnenste functie: $u(x)=3x^2$, dus $u^{\prime }(x)=6x$
  2. 2.$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot \cos (u(x))=6x\cos (3x^2)$

Voorbeeld

• $f(x)=e^{g(x)}⟹f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot e^{g(x)}$
  1. 1.Kettingregel: buitenste $e^{\dots }$ blijft staan
  2. 2.Vermenigvuldig met de afgeleide van de exponent: $g^{\prime }(x)$
• $f(x)=e^{2x+3}⟹f^{\prime }(x)=2e^{2x+3}$
  1. 1.$g(x)=2x+3,g^{\prime }(x)=2$
  2. 2.$f^{\prime }(x)=2\cdot e^{2x+3}$
• $f(x)=3^x⟹f^{\prime }(x)=3^x\cdot \ln (3)$

Voorbeeld

• $f(x)=\ln (g(x))⟹f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$
  1. 1.Kettingregel: afgeleide van wat erin staat gedeeld door wat erin staat
  2. 2.$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$
• $f(x)={}^g\log (x)⟹f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\cdot \ln (g)}$
• $f(x)=\ln (x^2+1)⟹f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$
  1. 1.$g(x)=x^2+1,g^{\prime }(x)=2x$
  2. 2.$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$
• $f(x)={}^2\log (x)⟹f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln (2)}$