Theorie

Quotiëntregel oefenen

Je gebruikt de quotiëntregel (zonder trema: quotientregel) als de ene functie door de andere gedeeld wordt. In de teller van de afgeleide staat een min. De noemer laat je staan als het kwadraat van de noemer.

$f$ is de functie die je differentieert. $g$ is de teller, $h$ de noemer. Die volgorde ligt vast.

f (x) = \frac{g ( x )}{h ( x )}

f^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x ) \cdot h ( x ) - g ( x ) \cdot h ^{'} ( x )}{( h ( x ) ) ^{2}}

Stappenplan

0Kijk of de ene functie door de andere gedeeld wordt. Staat er een breukstreep, met $x$ in de teller en in de noemer? Dan is het de quotiëntregel. De noemer mag niet nul zijn.
1Noem de hele functie $f$ , de teller $g$ en de noemer $h$ . Schrijf $f (x) = \frac{g ( x )}{h ( x )}$ . De teller is altijd $g$ , de noemer altijd $h$ .
2Bereken $g^{'} (x)$ en $h^{'} (x)$ . Elke kant apart, met de machtsregel of de somregel.
3Zet ze in de formule: $f^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x ) \cdot h ( x ) - g ( x ) \cdot h ^{'} ( x )}{( h ( x ) ) ^{2}}$ . In de teller staat een min. De noemer laat je staan als het kwadraat van $h$ . Werk dat uit tot een net antwoord.

Drie voorbeelden

$f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$
1. Stap 0. Er staat een breuk: teller $3 x + 1$ , noemer $x - 2$ . Dat is de quotiëntregel. De noemer mag niet nul zijn, dus $x \neq = 2$ .
2. Stap 1. $g (x) = 3 x + 1$ en $h (x) = x - 2$ .
3. Stap 2. $g^{'} (x) = 3$ en $h^{'} (x) = 1$ .
4. Stap 3. $f^{'} (x) = \frac{3 ( x - 2 ) - ( 3 x + 1 ) \cdot 1}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{3 x - 6 - 3 x - 1}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{- 7}{( x - 2 ) ^{2}}$ .
Antwoord: $f^{'} (x) = \frac{- 7}{( x - 2 ) ^{2}}$
$f (x) = \frac{x ^{2} + 4}{2 x + 1}$
1. Stap 0. Er staat een breuk: teller $x^{2} + 4$ , noemer $2 x + 1$ . Dat is de quotiëntregel. De noemer mag niet nul zijn, dus $x \neq = - \frac{1}{2}$ .
2. Stap 1. $g (x) = x^{2} + 4$ en $h (x) = 2 x + 1$ .
3. Stap 2. $g^{'} (x) = 2 x$ en $h^{'} (x) = 2$ .
4. Stap 3. $f^{'} (x) = \frac{2 x ( 2 x + 1 ) - ( x ^{2} + 4 ) \cdot 2}{( 2 x + 1 ) ^{2}} = \frac{4 x ^{2} + 2 x - 2 x ^{2} - 8}{( 2 x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 ( x ^{2} + x - 4 )}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$ .
Antwoord: $f^{'} (x) = \frac{2 ( x ^{2} + x - 4 )}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
$f (x) = \frac{x + 5}{x ^{2} + 1}$
1. Stap 0. Er staat een breuk: teller $x + 5$ , noemer $x^{2} + 1$ . Dat is de quotiëntregel. $x^{2} + 1$ is altijd minstens $1$ , dus de noemer is nooit nul.
2. Stap 1. $g (x) = x + 5$ en $h (x) = x^{2} + 1$ .
3. Stap 2. $g^{'} (x) = 1$ en $h^{'} (x) = 2 x$ .
4. Stap 3. $f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) - ( x + 5 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 1 - 2 x ^{2} - 10 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - 10 x - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .
Antwoord: $f^{'} (x) = \frac{1 - 10 x - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$

Probeer 3 sommen Zelf oefenen Bekijk de video: De quotiëntregel Alle differentieerregels

Quotiëntregel oefenen

f

is de functie die je differentieert.

g

is de teller,

h

de noemer. Die volgorde ligt vast.

f (x) = \frac{g ( x )}{h ( x )}

f^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x ) \cdot h ( x ) - g ( x ) \cdot h ^{'} ( x )}{( h ( x ) ) ^{2}}

Stappenplan

0Kijk of de ene functie door de andere gedeeld wordt. Staat er een breukstreep, met $x$ in de teller en in de noemer? Dan is het de quotiëntregel. De noemer mag niet nul zijn.
1Noem de hele functie $f$ , de teller $g$ en de noemer $h$ . Schrijf $f (x) = \frac{g ( x )}{h ( x )}$ . De teller is altijd $g$ , de noemer altijd $h$ .
2Bereken $g^{'} (x)$ en $h^{'} (x)$ . Elke kant apart, met de machtsregel of de somregel.
3Zet ze in de formule: $f^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x ) \cdot h ( x ) - g ( x ) \cdot h ^{'} ( x )}{( h ( x ) ) ^{2}}$ . In de teller staat een min. De noemer laat je staan als het kwadraat van $h$ . Werk dat uit tot een net antwoord.

Drie voorbeelden

$f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$
1. Stap 0. Er staat een breuk: teller $3 x + 1$ , noemer $x - 2$ . Dat is de quotiëntregel. De noemer mag niet nul zijn, dus $x \neq = 2$ .
2. Stap 1. $g (x) = 3 x + 1$ en $h (x) = x - 2$ .
3. Stap 2. $g^{'} (x) = 3$ en $h^{'} (x) = 1$ .
4. Stap 3. $f^{'} (x) = \frac{3 ( x - 2 ) - ( 3 x + 1 ) \cdot 1}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{3 x - 6 - 3 x - 1}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{- 7}{( x - 2 ) ^{2}}$ .
Antwoord: $f^{'} (x) = \frac{- 7}{( x - 2 ) ^{2}}$
$f (x) = \frac{x ^{2} + 4}{2 x + 1}$
1. Stap 0. Er staat een breuk: teller $x^{2} + 4$ , noemer $2 x + 1$ . Dat is de quotiëntregel. De noemer mag niet nul zijn, dus $x \neq = - \frac{1}{2}$ .
2. Stap 1. $g (x) = x^{2} + 4$ en $h (x) = 2 x + 1$ .
3. Stap 2. $g^{'} (x) = 2 x$ en $h^{'} (x) = 2$ .
4. Stap 3. $f^{'} (x) = \frac{2 x ( 2 x + 1 ) - ( x ^{2} + 4 ) \cdot 2}{( 2 x + 1 ) ^{2}} = \frac{4 x ^{2} + 2 x - 2 x ^{2} - 8}{( 2 x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 ( x ^{2} + x - 4 )}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$ .
Antwoord: $f^{'} (x) = \frac{2 ( x ^{2} + x - 4 )}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
$f (x) = \frac{x + 5}{x ^{2} + 1}$
1. Stap 0. Er staat een breuk: teller $x + 5$ , noemer $x^{2} + 1$ . Dat is de quotiëntregel. $x^{2} + 1$ is altijd minstens $1$ , dus de noemer is nooit nul.
2. Stap 1. $g (x) = x + 5$ en $h (x) = x^{2} + 1$ .
3. Stap 2. $g^{'} (x) = 1$ en $h^{'} (x) = 2 x$ .
4. Stap 3. $f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) - ( x + 5 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 1 - 2 x ^{2} - 10 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - 10 x - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .
Antwoord: $f^{'} (x) = \frac{1 - 10 x - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$